METODE NUMERIK BAB III

INTERPOLASI
3.1 Pengertian Interpolasi
Interpolasi dalam pengertian matematika adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Pengertian interpolasi yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi yang rumit yang tidak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Apabila y = f(x) suatu fungsi dengan nilai-nilai :
Dan jika  (xn) merupakan fungsi sederhana sembarang sehingga variabel x0, x1, ..., xn memberikan nilai yang sama dengan f(x), maka bila f(x) digantikan dengan  (xn) pada interval yang diketahui, inilah yang disebut proses interpolasi dan fungsi  (xn) adalah rumusan interpolasi bagi fungsi.

3.2 Ekstrapolasi Richardson
Perhatikan persamaan di bawah ini.

dengan a2, a4, ... konstanta yang tergantung pada f dan x. Bila informasi ini diketahui maka dapat digunakan Ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh hampiran yang lebih akurat.



Definisi suatu fungsi ϕ (h) dengan

Dari persamaan (a), dapat dilihat bahwa ϕ (h) adalah hampiran untuk f’(x) dengan error O (h2). Misalkan hitung ϕ (h) untuk suatu h dan kemudian hitung ϕ (h/2). Dari persamaan (a) diperoleh :


Bila persamaan kedua di atas dikali dengan 4, kemudian kurangkan, maka diperoleh :

Atau dapat ditulis :

Jadi dengan menambahkan

diperoleh hampiran untuk f’(x) dengan error O(h4). Prosedur yang sama dapat dilakukan berulang-ulang untuk menghilangkan error dengan suku yang lebih tinggi. Prosedur ini dinamakan Ekstrapolasi Richardson.
Misal ϕ suatu fungsi dengan

dengan a2k konstanta yang tidak diketahui. Asumsikan bahwa ϕ(h) dapat dihitung untuk setiap h > 0 dan tujuannya adalah menghampiri L secara akurat menggunakan ϕ.


Pilih suatu nilai h, dan hitung bilangan-bilangan :

sehingga berdasarkan persamaan (b) diperoleh :

Dengan A(k,0) = - a2k
Hampiran yang lebih akurat dapat diperoleh melalui Ekstrapolasi Richardson dengan formula :


3.3 Interpolasi Polinomial
Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, Pn(xn,yn) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:
y = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1xn-1
Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:
y1 = a0 + a1x1 + a2x12 + … + an-1x1n-1
y2 = a0 + a1x2 + a2x22 + … + an-1x2n-1
y3 = a0 + a1x3 + a2x32 + … + an-1x3n-1
………………………………………
yn = a0 + a1xn + a2xn2 + … + an-1xnn-1

Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, …, an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan.
Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut.

Cara penyelesaian Interpolasi Polinomial adalah :
Langkah pertama : menentukan jumlah nilai n yang diketahui
Langkah kedua : memasukkan titik-titik yang diketahui Pi = ( xi , yi ) untuk i = 1, 2, 3, . . . , n
Langkah ketiga : menyusun matrik augmented dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut :






Langkah keempat : menyelesaikan persamaan simultan dengan matrik augmented di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/ metode eliminasi Gauss-Jordan
Langkah kelima : menyusun koefisien fungsi polinomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan diatas,
a = { ai  ai = J (I,n), 0 ≤ I ≤ n – 1 }
Langkah keenam : memasukkan nilai x dari titik yang diketahui
Langkah ketujuh : menghitung nilai y dari fungsi polinomial yang dihasilkan




3.3.1 Interpolasi linier
Persamaan interpolasi linier :





Dapat dituliskan dalam bentuk umum seperti persamaan :










Sebelum menganalisa kesalahan yang dihasilkan dalam interpolasi linier perhatikan contoh sederhana berikut. Misal harga y = x2 ditabelkan untuk semua bilangan x bulat. Tabel 4.8 digunakan untuk menghitung kuadrat 6,5.







Dengan menggunakan persamaan :





Harga yang tepat untuk (6,5)2 adalah 42,25, maka kesalahan yang ditimbulkan adalah :
Ea = 42,25 – 4,5 = -0,25

Cara penyelesaian interpolasi linier :
Langkah pertama : tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2)

Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah ketiga : hitung nilai y dengan persamaan (4.5)
Langkah empat : tampilkan nilai titik yang baru. Carilah nilai f(x) untuk x = 1,53 dari jika diketahui titik P1(1, 2,789) dan titik P2(2, 2,989) dengan menggunakan interpolasi linier.

Penyelesaian :
Langkah pertama : tentukan dua titik yang diketahui , yaitu P1(1, 2,789) dan P2(2, 2,989)
Langkah kedua : nilai fungsi yang dicari pada titik x = 1,53
Langkah ketiga : hitung nilai y dengan persamaan (4.5)







Jadi untuk x = 1,53 didapatkan nilai f(x) = 2,895

3.3.2 Interpolasi kuadrat
Dalam banyak kasus interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang akan diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi liniernya. Dalam kasus semacam ini dapat digunakan polinomial lainnya, derajat kedua atau lebih untuk mendekati fungsi. Semakin tinggi derajat polinomial yang digunakan maka semakin kecil besar kesalahan yang akan timbul.
Persamaan sampai tiga suku pertama akan menghasilkan :





Yang disebut interpolasi kuadrat yang ditulis dalam bentuk umum ditunjukkan pada persamaan :



Atau












Dari penurunan persamaan interpolasi kuadrat terlihat xi+2 – xi+1 tidak perlu berjarak sama dengan xi+1 – xi.

Cara penyelesaian interpolasi kuadrat :
Langkah pertama : tentukan 3 titik input P1(x1, y1) P2 (x2, y2) dan P3(x3,y3)
Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah ketiga : hitung nilai y dari titik yang akan dicari menggunakan rumus interpolasi kuadrat persamaan.
Langkah keempat : tampilkan nilai x dan y

Contoh :
Carilah nilai fungsi f(x) untuk x = 2,05 dengan menggunakan metode interpolasi kuadrat berdasarkan data pada table 4.9 berikut :











Langkah pertama : tentukan 3 titik input P1(x1, y1) P2 (x2, y2) dan P3(x3,y3)
P1(x1, y1) = (1,9 , 2,31709)
P2(x2, y2) = (2,1 , 3,27194)
P3(x3,y3) = (2,5 , 5,72682)
Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari x = 2,05
Langkah ketiga : hitung nilai y dari titik yang akan dicari menggunakan rumus interpolasi kuadrat persamaan.












Jadi nilai fungsi f(2,05) = 3,01612

3.4 Interpolasi Lagrange
Interpolasi lagrange digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik hasil pengamatan data yang berjarak tidak sama atau interval antar variabel bebas tidak seragam. Jika fungsi y diberikan sebagai berikut :












Persamaan ini disebut persamaan lagrange untuk interpolasi. Variabel bebas dalam rumus tidak diperlukan perbedaan fungsi sehingga hasil yang diperoleh tidak dapat diperiksa ketelitiannya.
Metode lagrange mempunyai beberapa kelebihan, yaitu :
1. Interpolasi metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced (h konstan) ataupun non-equispaced (h tidak konstan).
2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan interpolasi balik.
3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak di daerah awal, akhir ataupun tengah.
4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam penyelesaian persoalannya, sehingga langkah penyelesaian persoalan akan menjadi mudah.
Sedangkan kekurangannya adalah jika nilai variabel dn nilai fungsi yang ada dalam tabel jumlahnya banyak maka perhitungan dengan persamaan akan cukup komplek.

Cara penyelesaian interpolasi lagrange :
Langkah pertama : tentukan jumlah titik (n) yang diketahui
Langkah kedua : tentukan titik - titik i  i i  P x , y yang diketahui dengan i = 1, 2, 3, ...n



Langkah ketiga : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah keempat : hitung nilai y dari titik yang dicari dengan persamaan.











Langkah kelima, tampilkan nilai x dan y

Contoh :

Tentukan polinomial derajat tiga yang diambil dari nilai-nilai sebagai berikut :

.

Jalan CintaKu

Apa yang harus ku lakukan.....???!???
Apa yang harus ku lakukan.....???!???
Apa yang harus ku lakukan.....???!???
itu lah yang selalu jadi pikiran ku setiap saat...!!!! Di suatu sisi aku sangat mencintainya, tapi di sisi lain aku sangat menderita oleh tingkah laku yang telah dia perbuat selama ini.
=> CURIGA.....perasan itu selalu menghapiri benak ku, selama aku jauh dari nya.. sungguh aku tak sanggup rasanya kalau rasa itu datang, segala sesuatu yang aku kerjakan selalu berakhir berantakan. aku benci rasa itu.... aku kesal klo dia datang....sungghu aku tak sanggup bila terus seperti ini. mungkin dengan inilah aku bisa tenang....
harus pisah dengannya, berusaha tuk melupakan nya..
dengan begini aku yakin rasa curiga ku tak kan lagi menyiksa pikiran ku.....!!
maafkan aku sayang, karna curiga ku yang berlebihan membuat mu sakit... sungguh ini keterpaksaan, karna aku juga gx tau harus gimana...

.

Senandung Rindu

Aku diam.

tak bergerak.

menunggu angin antarkan kau pulang.

sejurus mata memandang sayu.

setengah kantuk kuhitung rindu.

kulihat bintang yang selalu satu.

mana dirimu?kurebahkan diri pada kursi kayu itu.

yang selalu tersenyum melihat kau datang.

namun kini ia terbujur beku dingin dan kaku.

kembali padaku laksamana,

kita kembalikan derai canda yang tersapu badai.

kita naikan gemuruh cinta yang terhempas buih.

kita pancangkan janji.

kita sudahi penantian ini..

.

Arti Cinta

Cinta yang sejati ialah ketika orang yang kita cintai memilih apa yang terbaik untuk dirinya dan kita menyulam semangat baginya untuk mengapai semua mimpi2nya. Mencintai bukan berarti harus memiliki itu ialah sebuah penggalan kata bijak yang telah tercipta jutaan tahun yang lalu, dengan demikian berati tak selamanya cinta itu dapat memiliki. Namun bila kita telah mencintai seseorang dengan tulus maka kita akan merasa memiliki apa yang harus kita perjuangkan untuknya .Kita akan tetap bertahan meski ia menyuruh kita pergi, Kita akan tetap menantinya walau ia menyuruh kita berlari.yang sejati adalah ketika air matamu menitik dan kau menghapusnya karena kau tak ingin ia bersedih, dan dia lah senyummu ketika saat itu hati mu tersakiti.... Cinta sejati ialah ketika aku menuliskan kata2 yang indah dan ia tersenyum dengan bahagia karena ia dicintai oleh orang yang akan selalu ada untuknya..!

Hari demi hari pun terus kita lalui bersama, berbagai bentuk halangan dan rintangan kita alami.. dan Saat itulsh kita akan tersadar akan sebuah cinta yang sejatinya menjadi milik setiap orang yang menginginkannya. ketahuilah bahwa Dalam hidup ini hanya ada dua hal yaitu cinta dan benci. Tapi benci diawali dari sebuah cinta sejati. Yang sejatinya itu tidak memiliki arti yang berkesinambungan...

Mungkin malam ini adalah malam yang sangat berharga bagimu dan apalagi bagiku, karna malm ini kita berbagi keluh kesah tentang hubungan kita demi mencapai kebahagiaan yang sesungguhnya dimasa depan..

Dan ketika semua itu berakhir hanya ada satu yang bertahan hidup... Yaitu arti cinta itu sendiri!! sebuah kata sebuah makna yang membuat manusia dapat hidup selama bertahun-tahun Semua diawali dari cinta dan semua diakhiri oleh sebuah cinta kembali.

.

POLISI PERIKSA KORBAN KEKERASAN PEMILIHAN KEPALA DAERAH

Polda Bengkulu memeriksa dua orang korban penganiayaan pada kampanye pemilihan kepala daerah Kabupaten Bengkulu Tengah yakni Erwin dan Joko.

"Kami sedang meminta keterangan dari saksi korban terkait aksi penganiayaan yang dilakukan oleh salah satu kandidat bupati Bengkulu Tengah," kata Humas Polda Bengkulu AKPB Herry Wiyanto di Bengkulu, Kamis.

Kedua saksi korban diperiksa selama lima jam dan mereka didampingi tiga pengacara hukum yakni Evi Elvina Dwita, Desi Wahyuni, dan Maslian.

Juru bicara kuasa hukum korban Evi Elvina menjelaskan penganiayaan terjadi pada Minggu (2/10) berawal saat berlangsung kampanye terbuka pasangan Iriadi Wasik Salik di lapangan Desa Pematang Tiga, Kabupaten Bengkulu Tengah.

Pada saat itu, terlihat tim pasangan Alfiyan Toni Eddy Susanto mengunakan beberapa mobil berada tidak jauh dari lokasi kampanye.
Mengetahui hal tersebut, tim pusat media dari pasangan Iriadi - Wasik Salik mendekat ke tempat tim Alfiyan Toni dan kemudian mengambil gambar aktivitas mereka hingga terjadi keributan.

Erwin dan Joko mengalami pemukulan, dicekik dan didorong serta dirampas memori card kamera dan KTP disita.

Kerusuhan massal hampir terjadi karena dua kubu bertemu beruntung aparat kepolisian bertindak cepat dan masing-masing kelompok dapat menahan diri.

"Terkait kejadian itulah kita melaporkan ke Polda Bengkulu agar tindakan kekerasan dan pengerusakan itu dapat ditindaklanjuti oleh polisi," katanya.

Sementara itu Erwin ketika dikonfirmasi membenarkan jika ia dimintai keterangan selaku saksi korban kekerasan ia ditanyai seputar kronologis kejadian, tempat kejadian perkara, dan lain-lain.

Ia berharap polisi dengan segera mengusut pelaku pengeroyokan karena dalam keterangan yang ia berikan kepada polisi nama pelaku telah ia sebutkan.

Pada kesempatan yang berbeda Alfiyan Toni mengatakan pihak yang melakukan pemukulan tersebut adalh bukan dari kelompoknya.

Sementara itu Kapolda Bengkulu Brigjen Burhanudin Andi dalam beberapa kesempatan pernah menyatakan akan menindak tegas pelaku kerusuhan atau kelompok-kelompok yang terbukti membuat onar mengganggu jalannya proses pemilihan kepala daerah di Kabupaten Bengkulu Tengah.

Pemilihan kepala daerah di Bengkulu Tengah akan dilaksanakan pada 15 Oktober 2011 kini memasuki tahap kampanye calon.

Pilkada Bengkulu Tengah diikuti oleh 11 pasang calon bupati dan wakil bupati.

Ke-11 pasangan itu yakni Feri Ramli-Muhamad Sobri, Mahyudin Sobri-Nawasi Kadir, Herlambang-Cucu Yudianingrum, Edison Simbolon-Ali Rahmat, Roman Cavisa-Amalia Zulkarnain, Alfian Antoni-Edi Susanto, Mattasar-Abul Lani, Made Sukiade-Edi Efendi, Irihadi-Wasik Salik, Bambang Suseno-Arfan Nawawi, dan pasangan Duano-Darzian Syahril.

.