METODE NUMERIK BAB III

INTERPOLASI
3.1 Pengertian Interpolasi
Interpolasi dalam pengertian matematika adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Pengertian interpolasi yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi yang rumit yang tidak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Apabila y = f(x) suatu fungsi dengan nilai-nilai :
Dan jika  (xn) merupakan fungsi sederhana sembarang sehingga variabel x0, x1, ..., xn memberikan nilai yang sama dengan f(x), maka bila f(x) digantikan dengan  (xn) pada interval yang diketahui, inilah yang disebut proses interpolasi dan fungsi  (xn) adalah rumusan interpolasi bagi fungsi.

3.2 Ekstrapolasi Richardson
Perhatikan persamaan di bawah ini.

dengan a2, a4, ... konstanta yang tergantung pada f dan x. Bila informasi ini diketahui maka dapat digunakan Ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh hampiran yang lebih akurat.



Definisi suatu fungsi ϕ (h) dengan

Dari persamaan (a), dapat dilihat bahwa ϕ (h) adalah hampiran untuk f’(x) dengan error O (h2). Misalkan hitung ϕ (h) untuk suatu h dan kemudian hitung ϕ (h/2). Dari persamaan (a) diperoleh :


Bila persamaan kedua di atas dikali dengan 4, kemudian kurangkan, maka diperoleh :

Atau dapat ditulis :

Jadi dengan menambahkan

diperoleh hampiran untuk f’(x) dengan error O(h4). Prosedur yang sama dapat dilakukan berulang-ulang untuk menghilangkan error dengan suku yang lebih tinggi. Prosedur ini dinamakan Ekstrapolasi Richardson.
Misal ϕ suatu fungsi dengan

dengan a2k konstanta yang tidak diketahui. Asumsikan bahwa ϕ(h) dapat dihitung untuk setiap h > 0 dan tujuannya adalah menghampiri L secara akurat menggunakan ϕ.


Pilih suatu nilai h, dan hitung bilangan-bilangan :

sehingga berdasarkan persamaan (b) diperoleh :

Dengan A(k,0) = - a2k
Hampiran yang lebih akurat dapat diperoleh melalui Ekstrapolasi Richardson dengan formula :


3.3 Interpolasi Polinomial
Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, Pn(xn,yn) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:
y = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1xn-1
Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:
y1 = a0 + a1x1 + a2x12 + … + an-1x1n-1
y2 = a0 + a1x2 + a2x22 + … + an-1x2n-1
y3 = a0 + a1x3 + a2x32 + … + an-1x3n-1
………………………………………
yn = a0 + a1xn + a2xn2 + … + an-1xnn-1

Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, …, an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan.
Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut.

Cara penyelesaian Interpolasi Polinomial adalah :
Langkah pertama : menentukan jumlah nilai n yang diketahui
Langkah kedua : memasukkan titik-titik yang diketahui Pi = ( xi , yi ) untuk i = 1, 2, 3, . . . , n
Langkah ketiga : menyusun matrik augmented dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut :






Langkah keempat : menyelesaikan persamaan simultan dengan matrik augmented di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/ metode eliminasi Gauss-Jordan
Langkah kelima : menyusun koefisien fungsi polinomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan diatas,
a = { ai  ai = J (I,n), 0 ≤ I ≤ n – 1 }
Langkah keenam : memasukkan nilai x dari titik yang diketahui
Langkah ketujuh : menghitung nilai y dari fungsi polinomial yang dihasilkan




3.3.1 Interpolasi linier
Persamaan interpolasi linier :





Dapat dituliskan dalam bentuk umum seperti persamaan :










Sebelum menganalisa kesalahan yang dihasilkan dalam interpolasi linier perhatikan contoh sederhana berikut. Misal harga y = x2 ditabelkan untuk semua bilangan x bulat. Tabel 4.8 digunakan untuk menghitung kuadrat 6,5.







Dengan menggunakan persamaan :





Harga yang tepat untuk (6,5)2 adalah 42,25, maka kesalahan yang ditimbulkan adalah :
Ea = 42,25 – 4,5 = -0,25

Cara penyelesaian interpolasi linier :
Langkah pertama : tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2)

Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah ketiga : hitung nilai y dengan persamaan (4.5)
Langkah empat : tampilkan nilai titik yang baru. Carilah nilai f(x) untuk x = 1,53 dari jika diketahui titik P1(1, 2,789) dan titik P2(2, 2,989) dengan menggunakan interpolasi linier.

Penyelesaian :
Langkah pertama : tentukan dua titik yang diketahui , yaitu P1(1, 2,789) dan P2(2, 2,989)
Langkah kedua : nilai fungsi yang dicari pada titik x = 1,53
Langkah ketiga : hitung nilai y dengan persamaan (4.5)







Jadi untuk x = 1,53 didapatkan nilai f(x) = 2,895

3.3.2 Interpolasi kuadrat
Dalam banyak kasus interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang akan diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi liniernya. Dalam kasus semacam ini dapat digunakan polinomial lainnya, derajat kedua atau lebih untuk mendekati fungsi. Semakin tinggi derajat polinomial yang digunakan maka semakin kecil besar kesalahan yang akan timbul.
Persamaan sampai tiga suku pertama akan menghasilkan :





Yang disebut interpolasi kuadrat yang ditulis dalam bentuk umum ditunjukkan pada persamaan :



Atau












Dari penurunan persamaan interpolasi kuadrat terlihat xi+2 – xi+1 tidak perlu berjarak sama dengan xi+1 – xi.

Cara penyelesaian interpolasi kuadrat :
Langkah pertama : tentukan 3 titik input P1(x1, y1) P2 (x2, y2) dan P3(x3,y3)
Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah ketiga : hitung nilai y dari titik yang akan dicari menggunakan rumus interpolasi kuadrat persamaan.
Langkah keempat : tampilkan nilai x dan y

Contoh :
Carilah nilai fungsi f(x) untuk x = 2,05 dengan menggunakan metode interpolasi kuadrat berdasarkan data pada table 4.9 berikut :











Langkah pertama : tentukan 3 titik input P1(x1, y1) P2 (x2, y2) dan P3(x3,y3)
P1(x1, y1) = (1,9 , 2,31709)
P2(x2, y2) = (2,1 , 3,27194)
P3(x3,y3) = (2,5 , 5,72682)
Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari x = 2,05
Langkah ketiga : hitung nilai y dari titik yang akan dicari menggunakan rumus interpolasi kuadrat persamaan.












Jadi nilai fungsi f(2,05) = 3,01612

3.4 Interpolasi Lagrange
Interpolasi lagrange digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik hasil pengamatan data yang berjarak tidak sama atau interval antar variabel bebas tidak seragam. Jika fungsi y diberikan sebagai berikut :












Persamaan ini disebut persamaan lagrange untuk interpolasi. Variabel bebas dalam rumus tidak diperlukan perbedaan fungsi sehingga hasil yang diperoleh tidak dapat diperiksa ketelitiannya.
Metode lagrange mempunyai beberapa kelebihan, yaitu :
1. Interpolasi metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced (h konstan) ataupun non-equispaced (h tidak konstan).
2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan interpolasi balik.
3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak di daerah awal, akhir ataupun tengah.
4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam penyelesaian persoalannya, sehingga langkah penyelesaian persoalan akan menjadi mudah.
Sedangkan kekurangannya adalah jika nilai variabel dn nilai fungsi yang ada dalam tabel jumlahnya banyak maka perhitungan dengan persamaan akan cukup komplek.

Cara penyelesaian interpolasi lagrange :
Langkah pertama : tentukan jumlah titik (n) yang diketahui
Langkah kedua : tentukan titik - titik i  i i  P x , y yang diketahui dengan i = 1, 2, 3, ...n



Langkah ketiga : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah keempat : hitung nilai y dari titik yang dicari dengan persamaan.











Langkah kelima, tampilkan nilai x dan y

Contoh :

Tentukan polinomial derajat tiga yang diambil dari nilai-nilai sebagai berikut :