METODE NUMERIK

BAB I
PENDAHULUAN METODE NUMERIK
1.1 Pengertian Metode Numerik
Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika.
Alasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.
Jadi, Jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai elternative penyelesaian persoalan tersebut.
1.2 Pendekatan dan Kesalahan
1.2.1 Akurasi dan Presisi
Akurasi mengacu pada seberapa dekat angka pendekatan/pengukuran terhadap harga sebenarnya atau dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yang hendak dinyatakan Inakurasi (tdk akurat). Simpangan sistematis dari kebenaran.
Presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur. Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akan mempunyai perbedaan nilai presisi. Pemakaian jangka sorong mempunyai presisi yang lebih tinggi.

1.2.2 Kesalahan (Error)
Timbul dari penggunaan aproksimasi meliputi 2 hal, yaitu :
• Kesalahan Pemotongan (truncation error), dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.
• Kesalahan Pembulatan (Round-off error), dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak.

Harga sebenarnya = aproksimasi + error
Et = harga sebenarnya – aproksimasi
dimana, Et = harga pasti error, dengan t berarti true.

Bila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenarnya :
Kesalahan
Kesalahan Relatif Fraksional = ------------------------
Harga sebenarnya

Bila dinyatakan dalam persentase :
error sebenarnya
et = ------------------------- x
harga sebenarnya

dimana, et = error relatif persen sebenarnya
1.2.3 Kesalahan Numerik Total
Kesalahan Numerik Total adalah penjumlahan dari kesalahan pemotongan dan kesalahan pembulatan.
1.2.4 Angka Signifikan
Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0. Untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika digunakan untuk menentukan titik decimal atau untuk mengisi tempat 2 dari digit yang tidak diketahui/dibuang.
Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan Karena selisih 1 strip, dalam kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60.
Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh jarum :

2.1 Metode Bagi Dua (Bisection)
Pada umumnya, jika f(x) nyata/ real dan kontinu dalam interval dari Xl hingga Xu, serta f(Xl) dan f(Xu) berlainan tanda, yakni :
f(Xl) f(Xu) ˂ 0
Maka terdapat sekurang-kurangnya 1 akar nyata diantara Xl dan Xu.
Metode Bagi Dua ( bisection ) disebut juga pemotongan biner, pembagian dua, atau metode Bolzano, yaitu suatu jenis pencarian inkremental dimana interval senantiasa dibagi separuhnya. Jika suatu fungsi berubah tanda sepanjang suatu interval, harga fungsi ditengahnya dievaluasi. Letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval di mana perubahan tanda terjadi. Proses ini diulangi untuk memperoleh taksiran yang diperhalus.

2.1.1 Langkah-langkah Penyelesaian Bisection :
Step 1 : Pilih taksiran terendah Xl dan tertinggi Xu untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan : f(Xl) f(Xu) ˂ 0.
Step 2 : Taksiran pertama akar Xr ditentukan oleh :


Step 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, dimana dalam akar terletak :
a. Jika f(Xl) f(Xr) ˂ 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka Xu = Xr, dan Lanjutkan ke step 2.
b. Jika f(Xl) f(Xu) ˃ 0, akar terletak pada subinterval ke dua, maka Xl = Xr, dan lanjutkan ke step 2.
c. f(Xl) f(Xu) = 0, akar = Xr, kumputasi selesai.

Contoh :
Gunakan metode bagi dua untuk menentukan akar dari f(x) = e-x – x. Harga akar terletak diantara 0 dan 1. Karenanya interval awal dapat dipilih dari Xl = 0 hingga Xu = 1. Dengan sendirinya, taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut :
2.1.2 Kriteria Berhenti dan Taksiran Kesalahan
Dari contoh sebelumnya, dicoba menetukan saat berhentinya komputasi yang dilakukan. Diasumsikan bahwa kita akan berhenti jika angka kesalahan turun di bawah nilai tertentu, misal 0,1 %.
Strategi ditempuh karena taksiran kesalahan dalam contoh dihitung setelah sebelumnya kita sudah mengetahui akar sesungguhnya dari fungsi itu. Ini bukanlah merupakan realitas yang gampang ditemui, karenanya tak ada gunanya pemakaian metode ini jika akarnya telah kita ketahui.
Maka diperlukan suatu taksiran kesalahan dimana kita tak tahu mengenai akar sebelumnya.

2.2 Metode Regulasi Falsi (False Position)
2.3 Metode Secant
2.4 Metode Iterasi Titik Tetap
2.5 Metode Newton-Raphson (NR)
2.6 Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama.
2.7 Metode Eliminasi Gauss
2.8 Metode Cramer
Metode Cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu system persamaan linier berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Cramer jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A) = 0 .

2.9 Metode Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

2.10 Iterasi Gauss-Seidel
Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.